แคลคูลัส 1 (Calculus I) คือ การแนะนำสู่โลกพื้นฐานของแคลคูลัส ซึ่งประกอบไปด้วยการแนะนำหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ การหาลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบต่าง ๆ และการให้ความรู้พื้นฐานเรื่องของฟังก์ชัน สมบัติของฟังก์ชัน การดำเนินการต่าง ๆ ต่อฟังก์ชัน เช่น การหาลิมิต การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์ เมื่อทำความเข้าใจเรื่องฟังก์ชันเป็นอย่างดีแล้ว
เนื้อหาในแคลคูลัส 1 ยังคงนำเสนอการประยุกต์ของตัวดำเนินการต่าง ๆ กับฟังก์ชัน เช่น การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง การหาปริมาตรที่เกี่ยวเนื่องกับฟังก์ชัน การประยุกต์อนุพันธ์ในเรื่องอัตราสัมพัทธ์และการหาอัตราการเพิ่มลดในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับชีวิตจริง ดังนั้น แคลคูลัส 1 คือพื้นฐานที่สำคัญต่อผู้ที่สนใจในแคลคูลัส และเป็นประโยชน์ต่อผู้ที่ต้องใช้แคลคูลัสพื้นฐานในการศึกษาต่อยอดในศาสตร์ชั้นสูงหรือในงานที่เกี่ยวข้อง
บทที่ 1 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์และลิมิตของฟังก์ชัน (Mathematical Induction and Limits of Functions)
สำหรับบทนี้จะเป็นการแนะนำการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่เรียกว่า การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ และการหาลิมิตของฟังก์ชันต่าง ๆ หลักการประมาณค่าของฟังก์ชันโดยการสร้างตารางและนำไปสู่บทนิยามของลิมิต การแก้ปัญหาของลิมิต และการใช้บทนิยามของลิมิตเพื่อสังเกตพฤติกรรมของฟังก์ชัน ตลอดทั้งบทจะมีตัวอย่างที่หลากหลาย ตั้งแต่ระดับง่ายและระดับที่ต้องใช้เวลาเพื่อความเข้าใจ
ก่อนที่จะเริ่มในเนื้อหาหลักของวิชาแคลคูลัส 1 ในส่วนนี้จะพิจารณาพื้นฐานต่าง ๆ ของหลักคณิตศาสตร์ก่อน โดยแยกเป็นส่วน ๆ
บทที่ 2 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (Derivative of Functions)
เนื้อหาในบทนี้จะประกอบไปด้วยบทนิยามการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้กฎต่าง ๆ ตัวอย่างของบทนี้จะเริ่มจากการใช้กฎพื้นฐานของอนุพันธ์ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การประยุกต์ความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับช่วยในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางประเภท โดยจะมีการเสริมความรู้พื้นฐานและคุณสมบัติของฟังก์ชันแต่ละประเภทก่อนที่จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น ๆ อีกด้วย
เนื้อหาหลัก ๆ สำหรับบทนี้ จะกล่าวถึงการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่าง ๆ อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของบางสิ่งบางอย่าง หลักการของอนุพันธ์นำไปสู่การประยุกต์ในปัญหาต่าง ๆ มากมาย เช่น ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ ณ จุดที่พิจารณา ปัญหาความเร็วความเร่งของเครื่องจักรกล ปัญหาการหาค่าสูงสุดต่ำสุด และ ปัญหาการหาพื้นที่ เป็นต้น ก่อนที่จะไปสู่ปัญหาประยุกต์ต่าง ๆ การเรียนรู้พื้นฐานที่สำคัญของอนุพันธ์เป็นสิ่งจำเป็น
บทที่ 3 การประยุกต์อนุพันธ์ (Applications of Derivative)
สำหรับเนื้อหาในบทนี้จะเป็นการประยุกต์อนุพันธ์สำหรับปัญหาในชีวิตจริง การใช้อนุพันธ์ตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชัน และนำไปสู่การประยุกต์อนุพันธ์ในการวาดกราฟของฟังก์ชันประเภทต่าง ๆ อีกทั้งอนุพันธ์ยังมีความเกี่ยวข้องกับการหาลิมิตของฟังก์ชันและการประมาณค่าของฟังก์ชันอีกด้วย โดยอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีความเชื่อมโยงกับเนื้อหาทางพีชคณิตในหลายด้าน เช่น ความชันและการเปลี่ยนแปลง และสามารถนำไปประยุกต์ในหลาย ๆ ศาสตร์
อนุพันธ์แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของบางสิ่งบางอย่างที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงของ
สิ่งที่เกี่ยวข้อง เช่น การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิของน้ำในสระในแต่ละช่วงเวลา ความเร็วของรถยนต์ในขณะขับขี่ การเปลี่ยนแปลงประชากรของสัตว์ป่าในแต่ละปี และยังมีปัญหาอื่น ๆ อีกมากมายที่ไม่ได้กล่าวถึง และไม่สามารถนำเสนอทุกปัญหาในหนังสือเล่มนี้ได้ โดยจะกล่าวถึงเฉพาะปัญหาต่าง ๆ
บทที่ 4 ปริพันธ์ (Integrals)
อนุพันธ์และปริพันธ์มีความสัมพันธ์กัน และอธิบายได้โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ซึ่งจะกล่าวถึงรายละเอียดในลำดับถัดไป ดังนั้นเมื่อเข้าใจในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว การเข้าใจหลักการในการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันคงจะไม่ใช่เรื่องยากมากนัก สำหรับบทนี้จะแนะนำพื้นฐานการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันต่าง ๆ คล้ายกับการหาอนุพันธ์ โดยจะเริ่มจากนิยามของการหาปริพันธ์ การใช้กฎต่าง ๆ ของปริพันธ์ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันประเภทต่าง ๆ และเทคนิคเบื้องต้นของการหาปริพันธ์ ตัวอย่างมีความหลากหลายและง่ายต่อการเข้าใจ
ปริพันธ์สามารถประยุกต์ใช้ในการหาพื้นที่ หาปริมาตร และอื่น ๆ อีกหลายด้าน โดยปริพันธ์จะแบ่งออกเป็นสองส่วนที่สำคัญคือ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integrals) และปริพันธ์จำกัดเขต (definite integrals) โดยจะขอกล่าวถึงทฤษฎีบทพื้นฐานความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์ก่อน
บทที่ 5 เทคนิคการหาปริพันธ์ (Techniques of Integration)
เนื้อหาในบทนี้เป็นบทเสริมเพิ่มเติมเรื่องการหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน บางครั้งการใช้สูตรพื้นฐานในการหาปริพันธ์อาจไม่เพียงพอต่อการแก้ปัญหา โดยเนื้อหาในบทนี้จะแนะนำวิธีต่าง ๆ ที่จะเป็นเครื่องมือช่วยพิจารณาในการแก้ปัญหาการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันประเภทต่าง ๆ ตัวอย่างมีความหลากหลายและครอบคลุมเกือบทุกประเภทของฟังก์ชัน โดยแต่ละตัวอย่างจะแสดงวิธีทำอย่างละเอียดทุกขั้นตอนเพื่อง่ายต่อการเข้าใจ
เนื้อหาในบทที่ผ่านมาได้กล่าวถึงปริพันธ์ของฟังก์ชันต่าง ๆ และสูตรพื้นฐานของปริพันธ์ สำหรับเนื้อหาในบทนี้จะกล่าวถึงเทคนิคในการหาปริพันธ์ในกรณีที่สูตรพื้นฐานไม่สามารถหาได้
บทที่ 6 การประยุกต์ปริพันธ์ (Applications of Integration)
บทสุดท้ายของหนังสือเล่มนี้เป็นการใช้ความรู้เรื่องการหาปริพันธ์ประยุกต์กับปัญหาต่าง ๆ เช่น การหาพื้นที่ระหว่างกราฟ การหาปริมาตรของทรงตัน เป็นต้น โดยปัญหาประยุกต์แต่ละปัญหาจะแสดงแนวคิดในการได้มาของสูตรอย่างละเอียด อีกทั้งความหลากหลายของตัวอย่างและการแสดงเพิ่มเติมโดยรูปภาพ จะทำให้ผู้อ่านมีความเข้าใจมากขึ้น
