การประยุกต์ใช้สมการเชิงอนุพันธ์ และการสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับแก้ไขปัญหาและพยากรณ์พฤติกรรมของระบบในสถานการณ์จริงต่าง ๆ
ในโลกแห่งความเป็นจริง มีปัญหามากมายที่จะต้องดำเนินการหาทางจัดการแก้ไข โดย ปัญหามีตั้งแต่ระดับเล็กน้อยไปจนถึงระดับใหญ่เสี่ยงน้อยไปจนถึงเสี่ยงมาก บางปัญหาอาจใช้เงิน ลงทุนสูงในการแก้ไขหรือทดลองเพื่อให้ได้มาซึ่งคำตอบย่อยก่อนที่จะนำไปสู่คำตอบโดยรวม หรือบาง ปัญหาอาจจะส่งผลกระทบต่อชีวิตและทรัพย์สินของมนุษย์เป็นจำนวนมาก ดังนั้น แนวทางหนึ่ง ในการแก้ปัญหาบางประเภทเพื่อลดอัตราการเสี่ยงต่อชีวิตและทรัพย์สินและประหยัดเวลาก็คือ การนำความรู้ทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการแก้ปัญหาเหล่านี้ซึ่งก็คือ การนำตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ มาช่วยในการตอบปัญหาจากสถานการณ์จริง
ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ หรือ mathematical model คือ ตัวแทนสถานการณ์หรือโจทย์ ปัญหาต่าง ๆ ที่ต้องการหาคำตอบซึ่งเขียนในรูปแบบสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันหรือสมการ ทางคณิตศาสตร์ทั้งนี้เพื่อให้เกิดความเข้าใจสถานการณ์หรือปัญหานั้น ๆ ทั้งเชิงปริมาณและเชิง คุณภาพมากขึ้น และเพื่อทำนายพฤติกรรมหรือกลไกทางพลศาสตร์ของสถานการณ์นั้น ๆ มากขึ้น โดยในหนังสือเล่มนี้จะเน้นที่ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
หนังสือเล่มนี้ขึ้นสำหรับผู้ที่เริ่มต้นศึกษาและสนใจในเรื่องการ ประยุกต์ใช้สมการเชิงอนุพันธ์และการสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับ ตอบปัญหาในสถานการณ์จริงต่าง ๆ ซึ่งสามารถใช้ในการเรียนการสอนในระดับปริญญาตรีและ/ หรือปริญญาโท เพื่อเป็นแนวทางในการทำวิจัยทางคณิตศาสตร์ประยุกต์ต่อไปได้ทั้งในมหาวิทยาลัย ของรัฐและเอกชนที่เปิดสอนหลักสูตรที่มีเนื้อหาดังกล่าว รวมทั้งผู้ที่สนใจในด้านนี้สามารถนำไปใช้ ประโยชน์ในการประกอบการเรียนการสอนเพิ่มเติมได้โดยในหนังสือเล่มนี้ผู้เขียนได้เขียนไว้ทั้งหมด 5 บท โดยมีกรอบความคิดของแต่ละบท ดังนี้
1. บทนำเกี่ยวกับตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
บทที่ 1 ด้วยการให้ความหมายของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์วัตถุประสงค์ของ การสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์อธิบายกระบวนการสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ในแต่ละขั้นตอน เน้นย้ำความสำคัญของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ว่าทำไมเราจึงสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์และอธิบาย ประเภทตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ว่ามีหลายประเภทขึ้นอยู่กับว่าเราจำแนกประเภทด้วยอะไร แม้ กระนั้นการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ก็มีข้อจำกัด ผู้เขียนจึงเขียนปิดท้ายบทที่ 1 ด้วยเรื่องข้อจำกัด ของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ คือ
ในโลกแห่งความเป็นจริง เรามีปัญหามากมายที่จะต้องแก้ไขหรือดำเนินการหาทางจัดการ แก้ไข ซึ่งปัญหาบางปัญหามีความเสี่ยงทั้งด้านการเงินที่จะต้องลงทุน ใช้เงินสูงในการแก้ปัญหา หรือบางปัญหาอาจจะส่งผลกระทบต่อชีวิตและทรัพย์สินของมนุษย์เป็นจำนวนมาก เช่น การทำนาย ผลการเลือกตั้ง การทำนายแนวโน้มราคาน้ำมัน การทำนายรูปแบบการเจริญเติบโตและการขยายตัว ของป่า การทำนายการระบาดของโรคระบาดต่าง ๆ ดังนั้น จึงต้องอาศัยตัวแบบ (model) ซึ่งคือ ตัวแทนวัตถุระบบ โปรแกรมคอมพิวเตอร์หรือตัวแทนองค์ประกอบต่าง ๆ ของระบบที่ถูกสร้างขึ้น เพื่อศึกษาการทำงานของระบบงานหรือปัญหาจริงตัวแบบข้างต้นสามารถนำไปทำงานได้ หลายรูปแบบ เช่น เป็นเครื่องมือสำหรับทำนายหรือคาดคะเนผลต่าง ๆ ที่ต้องการศึกษา หรือเป็น เครื่องมือสำหรับช่วยทดสอบประสิทธิผลของเครื่องจักรหรืออุปกรณ์ใด ๆ เป็นต้น ซึ่งตัวแบบอาจ ช่วยหาค่าคำตอบที่แท้จริงได้หรืออาจจะหาได้แค่ค่าโดยประมาณ ตัวแบบมีหลายประเภทตาม คุณลักษณะ เช่น ตัวแบบทางกายภาพ ตัวแบบแอนะล็อก ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ตัวแบบทางสถิติ และตัวแบบเชิงคอมพิวเตอร์ซึ่งในหนังสือเล่มนี้จะอธิบายถึงตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์(mathematical model) เท่านั้น
2. ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
ในบทที่ 2 ผู้เขียนอธิบายการประยุกต์ใช้สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งอันดับหนึ่งและอันดับสูง ในการสร้างเป็นตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์อย่างง่ายสำหรับอธิบายหรือแก้ปัญหาสถานการณ์ที่ไม่ซับซ้อน มาก โดยตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์มีทั้งที่เป็นเชิงเส้น ไม่เชิงเส้น และที่ต้องใช้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างโจทย์ปัญหาในบทนี้ก็รวมสถานการณ์ต่าง ๆ ของหลายศาสตร์เช่น เคมีชีววิทยา ฟิสิกส์ ประชากรศาสตร์เป็นต้น
ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
ในหัวข้อย่อยนี้ จะได้ศึกษาถึงการนำสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งมาใช้เป็นตัวแบบเชิง คณิตศาสตร์ สำหรับศึกษาการเจริญเติบโตของประชากรของสิ่งมีชีวิต การย่อยสลายของสารกัมมันตรังสี การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอุณหภูมิของวัตถุต่าง ๆ การผสมสารหรือของเหลว ปฏิกิริยาทางเคมี และการระบายของเหลวผ่านทางรูในแท็งก์น้ำ โดยเนื้อหาในส่วนนี้จะครอบคลุมสำหรับทั้งตัวแบบ เชิงคณิตศาสตร์เชิงเส้น ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ไม่เชิงเส้น และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ที่เป็นระบบ สมการเชิงอนุพันธ์
3. องค์ประกอบสำหรับการวิเคราะห์ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
เมื่อมีตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์แล้วโดยเฉพาะในกรณีที่ตัวแบบมีความซับซ้อนมากขึ้น และ ไม่ใช่สมการเดียวที่สามารถหาผลเฉลยได้โดยตรง การวิเคราะห์ตัวแบบเพื่อให้ได้มาซึ่งคำตอบของ ปัญหาเริ่มต้นก็เป็นสิ่งสำคัญ ในบทที่ 3 นี้ผู้เขียนได้อธิบายถึงองค์ประกอบต่าง ๆ ที่จะต้องใช้ ในการวิเคราะห์ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สำหรับตัวแบบที่ซับซ้อนขึ้นทั้งเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ ได้แก่การหาจุดสมดุล การเขียนสนามทิศทางเพื่อวาดเส้นโค้งผลเฉลยโดยสังเขป และความเสถียร ในรูปแบบต่าง ๆ ของจุดสมดุลของตัวแบบ
4. ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับสถานการณ์ในชีวิตประจำวัน
ในบทที่ 4 ผู้เขียนได้อธิบายและยกตัวอย่างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนขึ้นและ เกี่ยวข้องกับสถานการณ์ในชีวิตประจำวันที่นักคณิตศาสตร์ได้สร้างเพื่อศึกษาและเพิ่มความเข้าใจ ในหลาย ๆ ศาสตร์เช่น ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์อธิบายความสัมพันธ์ของน้ำตาลกลูโคสและฮอร์โมน อินซูลิน ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ที่แบ่งร่างกายเป็นส่วน ๆ (compartmental model) ตัวแบบ เชิง คณิตศาสตร์อธิบาย กลไก การ ดูด ซึม สาร อาหาร ของ แบคทีเรีย นอกจาก นี้ผู้เขียน ก็ได้อธิบาย ตัวแบบที่เกี่ยวข้องกับพลศาสตร์ประชากร เช่น ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ผู้ล่า-เหยื่อ และตัวแบบเชิง คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับโรคติดต่อ ซึ่งเนื้อหาใน 4 บทแรกนี้ผู้เขียนได้เพิ่มแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย สำหรับผู้อ่านไว้ในแต่ละบท เพื่อให้ผู้อ่านได้เข้าใจเนื้อหาได้ดียิ่งขึ้นไป
5. ตัวอย่างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ในงานวิจัย
สำหรับในบทที่ 5 ผู้เขียนได้เขียนรวบรวมตัวอย่างของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ในงานวิจัย จริงของนักวิจัย ไม่ว่าจะเป็นตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์โรคเบาหวาน ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ผู้ล่า-เหยื่อ ในกรณีของกลุ่มสัตว์ต่าง ๆ รวมไปถึงตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์โรคติดต่อที่เกิดขึ้นทั้งในมนุษย์สัตว์พืช และระดับเซลล์ทั้งนี้เพื่อให้ผู้อ่านได้เห็นถึงแนวทางการทำวิจัยสำหรับคณิตศาสตร์ประยุกต์ในด้านนี้
