แคลคูลัส 2 (Calculus II)

แคลคูลัส 2 เป็นหนังสือเล่มที่ 2 ของเนื้อหาทั้งหมดของรายวิชาแคลคูลัสที่ประกอบไปด้วยเรื่อง ลำดับและอนุกรม การทดสอบอนุกรม อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์ เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ การหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น หลักเกณฑ์ของคราเมอร์ ปริภูมิเวกเตอร์ ปริภูมิย่อย ฐานและมิติ การแปลงเชิงเส้น ค่าลักษณะเฉพาะ และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เนื้อหาหลายส่วนมีความสำคัญในการประยุกต์ต่อยอดกับหลายศาสตร์ เช่น วิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์แขนงต่าง ๆ สำหรับเนื้อหาในส่วนของฟังก์ชันมากกว่าสองตัวแปร สำหรับการหาลิมิต ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์และปริพันธ์ จะอยู่ในหนังสือแคลคูลัส 3 จุดประสงค์ของหนังสือเล่มนี้ก็คือ เพื่อให้ผู้อ่านได้ความรู้ในหลักการทางพีชคณิตเชิงเส้นพร้อมไปด้วย อันจะเป็นประโยชน์ในการต่อยอดในงานที่เกี่ยวข้องได้

1. ลำดับและอนุกรม (Sequence and Series)

เนื้อหาในบทนี้จะกล่าวถึงบทนิยามของลำดับและอนุกรม การทดสอบการลู่เข้าของลำดับและอนุกรม และการประยุกต์

ลำดับ (Sequence)

ลำดับ แสดงถึง การเรียงลำดับของสิ่งต่าง ๆ เช่น ลำดับของตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 เป็นต้น ลำดับสามารถมีความสัมพันธ์กับเวลาหรือการเกิดขึ้นตามลำดับที่กำหนดไว้ เช่น การทำงานตามลำดับของขั้นตอนในกระบวนการการผลิต หรือการดำเนินการตามลำดับในการทำอะไรบางอย่าง สังเกตจากตัวอย่างความสัมพันธ์ระหว่างลำดับและปริมาณของสัตว์ชนิดหนึ่งดังตารางข้อมูลต่อไปนี้

เช่นความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่สำรวจกับจำนวนสัตว์

อนุกรม (Series)

อนุกรม หมายถึง ผลรวมของค่าในลำดับของตัวเลขโดยที่แต่ละค่าถูกสร้างขึ้นโดยใช้กฎหรือรูปแบบที่ระบุไว้ อนุกรมเหล่านี้สามารถเป็นจำกัดได้ คือ มีจำนวนค่าในลำดับที่จำกัด หรือไม่จำกัดก็ได้ นั่นคือมีจำนวนค่าในลำดับที่ไม่จำกัด หรือกล่าวสั้น ๆ อนุกรม คือ ผลบวกของพจน์ในลำดับ อนุกรมเป็นส่วนสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการศึกษาเรื่องการคำนวณและการวิเคราะห์จำนวนจริง ประเภทที่พบบ่อยที่สุดของอนุกรม คือ อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต

2. ระบบสมการเชิงเส้นและการดำเนินการของเมทริกซ์ (Systems of Linear Equations and Matrices)

เนื้อหาในบทนี้จะแนะนำบทนิยามของเมทริกซ์ และสมบัติต่าง ๆ ของเมทริกซ์ การเขียนระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปของเมทริกซ์ และการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กระบวนการทางเมทริกซ์

3. ปริภูมิเวกเตอร์ (Vector Space)

สำหรับบทนี้จะแนะนำกระบวนต่าง ๆ ของเวกเตอร์ โดยจะแนะนำความรู้พื้นฐานของเวกเตอร์และการดำเนินการที่สำคัญของเวกเตอร์

ปริภูมิเวกเตอร์ (vector space) คือ แนวคิดที่สำคัญในคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์เชิงเส้น เป็นเซตของเวกเตอร์ที่มีการกำหนดสองการดำเนินการ คือ การบวกเวกเตอร์และการคูณด้วยค่าคงที่ หรือเรียกว่า “สเกลาร์” (scalar multiplication) โดยที่การดำเนินการเหล่านี้ต้องประกอบด้วยกฎหรือคุณสมบัติที่เฉพาะเอาไว้ คุณสมบัติเหล่านี้กำหนดวิธีที่สามารถรวมและปรับขนาดเวกเตอร์ได้ เพื่อมั่นใจให้เซตนี้เป็นปริภูมิเวกเตอร์

ปริภูมิเวกเตอร์สามารถเป็นแบบมีขนาดจำกัด (finite-dimensional) หรือแบบมีขนาดไม่จำกัด (infinite-dimensional) ขึ้นอยู่กับจำนวนของเวกเตอร์ที่ต้องการในการสร้างฐาน (basis) สำหรับปริภูมิ ตัวอย่างของปริภูมิเวกเตอร์ที่พบบ่อย คือ ปริภูมิยูคลิด (Euclidean spaces) (เช่น Rⁿ สำหรับจำนวนจริง) ปริภูมิของฟังก์ชัน และปริภูมิของพหุนาม ปริภูมิเวกเตอร์เป็นสิ่งสำคัญในคณิตศาสตร์เชิงเส้น การวิเคราะห์ฟังก์ชัน และหลายสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ต่าง ๆ โดยให้กรอบในการเข้าใจและแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้น สำหรับบทนี้จะไม่มีการพิสูจน์ในหลายทฤษฎีบท โดยผู้สนใจสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากรายการอ้างอิงท้ายเล่ม